Մասնագիտական զարգացում_2021-2022թթ.

Թեմա 2. Հեռավորությունը ուղղի վրա, և ոչ միայն

Վարժություններինքնուրույնաշխատանքիհամար

1. 1. Լուծեք հավասարումը և անհավասարումը. ա) |x|=|x-3|, բ) |5+x|≤|5-x|:
ա) |x|=|x-3|Խնդրի պայմանը նշանակում է, որ պետք է գտնել այն կետը, որը հավասարահեռ է A(0) և B(3) կետերից: Պարզ է, որ դա AB հատվածի C(1,5) միջնակետն է: Հետևաբար հավասարման լուծումը x=1,5 է:

բ) |5+x|≤|5-x|

Մոդուլի սահմանումից հետևում է, որ հակադիր թվերի մոդուլները իրար հավասար են: Որպեսզի կարողանանք կիրառել երկու կետերի հեռավորության բանաձևը, մոդուլի նշանի տակ պետք է լինի կորդինատների տարբերություն: Դրա համար տրված անհավասարումը գրենք ավելի հարմար տեսքով՝|x-(-5)| ≤|5-x|: Այս անհավասարման լուծումը կլինեն այն բոլոր կետերի կորդինատները, որոնց հեռավորությւոնը A(-5) կետից մեծ չէ, քան B(5) կետից:
Հասկանալի է, որ այդ հատկությամբ օժտված է AB հատվածի C(0) միջնակետը, ինչպես նաև կորդինտային ուղղի այն բոլոր կետորը, որոնք ընկած են C կետից ձախ: Այսպիսով, անհավասարման լուծումը կլինեն այն բոլոր թվերը, որոնք մեծ չեն 0-ից, այսինքն՝( -∞; 0]:

2. 2. Գտեք |a-100|+|100+a| արտահայտության փոքրագույն արժեքը:

Կորդինատային հարթության վրա դիտարկենք A(-100) և B(100) կետերը: Պահանջվում է կորդինատային հարթության վրա գտնել այնպիսի կետեր, որոնց հեռավորությունների գումարը A և B կետերից լինի նվազագույնը: AB հատվածի երկարությունն է՝
|-100-100)|=200

3. 3. Լուծեք հավասարումները և անհավասարումները

ա) |x-1|+|x-2|=3

: Լուծեք |x+4|+|x-2|=10 հավասարումը:

Պահանջվում է կորդինատային ուղղի վրա գտնել այն կետերը, որոնց հեռավորությունների գումարը A(1) և B(2) կետերից հավասար է 3: Պարզ է, որ այդ կետերը AB հատվածի վրա չեն կարող լինել, հակառակ դեպքում նրանց հեռավորությունների գումարը A և B կետերից կլիներ 1: Այդ կետերը կարելի է, օրինակ, այսպես փնտրել: Նկատենք, որ AB հատվածից դուրս կորդինատային ուղղին պատկանող ցանկացած N կետի համար NA+NB=2NC, որտեղ C(1,5) կետը AB հատվածի միջնակետն է: Այսպիսով, փնտրվող կետերը C(1,5) կետից հեռացված են 5 միավորով: Կստանանք, որ հավասարման լուծումները -6 և 4 թվերն են:

բ) |x-1|+|x-2|<3

գ) |x|+|x+1|=1

դ) |x|+|1+x|≥1

ե) |6+x|+|6-x|=8

Թեմա 1.Բաղդատումները:
Աղբյուրը Գևորգ Հակոբյանի բլոգից:

Առաջադրանքներ:

1. a թիվը m-իբաժանելիս տալիս է r₁մնացորդ, իսկ b թիվը m-ի բաժանելիս տալիս է r₂մնացորդ: Կարելի՞է պնդել, որ a+b թիվը m-ի բաժանելիս կտա r₁+r₂մնացորդ, իսկ ab թիվը m-ի բաժանելիս կտա r₁r₂մնացորդ: Ինչպե՞ս փոխենք ձևակերպումը, որ ստանան ճիշտ պնդում:

Պնդումը սխալ է, տես օրինակը.
Վերցնենք 7, 19 թվերը, այս թվերը հինգի բաժանելիս կլինի՝
7=2(mod5)
19=4(mod5)
գումարենք այս թվերը՝
7+19=26
որը 5-ի բաժանելիսստացվում է մեկ մնացորդ, և ոչ թե 6 մնացորդ:

Ճիշտ ձևակերպումը կլինի.

ա/ a թիվը m-ի բաժանելիս տալիս է r₁մնացորդ, իսկ b թիվը m-ի բաժանելիս տալիս է r₂մնացորդ, ապա a+b-ն և r₁+r₂բաղդատելի են ըստ մոդուլ m-ի:

բ/ a թիվը m-ի բաժանելիս տալիս է r₁մնացորդ, իսկ b թիվը m-ի բաժանելիս տալիս է r₂մնացորդ, ապա ab-ն և r₁r₂բաղդատելի են ըստ մոդուլ m-ի:

Կարող ենք գրել նաև այսպես.

ա/եթե a=r₁(modm)

b=r₂(modm),
ապա a+b=r₁+r₂(modm):

բ/ եթե a=r₁(modm)

b=r₂(modm)
ապա ab=r₁r₂(modm):

2. Ապացուցեք, որ n-ի ցանկացած ամբողջ արժեքի դեպում n²+n թիվը զույգ է:

Ապացույց:

Ենթադրենք n=2k, որտեղ k-ն ոչ բացասական ամբողջ թիվ է.

n=0(mod2)

ըստ հետևանք 1-ի ( Բաղդատումը կարելի է աստիճան բարձրացնել)

n^2=0^2(modm)

ըստ բաղդատման գումարման թեորեմի՝

n+n^2=0(modm), այսինքն զույգ թիվ է: Ապացուցված է:

Ենթադրենք n=2k+1

n=1(mod2)

n^2=1^2(mod2)

n^2=1(mod2)

ըստ բաղդատման գումարման թեորեմի

n^2+n=1+1(mod2)=0(mod2) Ապացուցված է:

3. n-ի ինչպիսի արժեքների դեպքում n²-1 թիվը կբաժանվի 3-ի:

Յուրաքանչյուր թիվ 3-ի բաժանելիս ունի 0, 1, 2 մնացորդ:

ա/ n=3k

n=0mod(3)

բարձրացնենք քառակուսի, կստանանք՝

n^2=0(mod3)

հիմա գրենք մեկի համար՝

1=1(mod3)

իրարից հանելով կստանանք՝

n^2-1=0-1(mod3)=-1(mod3)

b/ n=3k+1

n=1mod(3)

բարձրացնենք քառակուսի, կստանանք՝

n^2=1^2(mod3)

բ/հիմա գրենք մեկի համար՝

1=1(mod3)

իրարից հանելով կստանանք՝

n^2-1=1-1(mod3)=0(mod3)

Այսինքն մեր որոնելի թվերը պետք է լինեն այս խմբից՝

3k+1:

Օրինակ՝ n=7

n=1(mod3)

n^2-1=49-1=48

48=0(mod3)

գ/հիմա գրենք 2 մնացորդիի համար:

n=3k+2

n=2(mod3)

n^2=2^2(mod3)=1(mod3)

1=1(mod3)

n^2-1=0(mod3)

բավարարում է՝ n=3k+2խմբի թվերի համար՝ n^2-1 բաժանվում է 3-ի:

Պատասխան՝ n=3k+1, n=3k+2

4. Ապացուցեք, եթե a և b թվերը չեն բաժանվում 3-ի, բայց 3-ի բաժանելիս տալիս են նույն մնացորդը, ապա ab-1 թիվը բաժանվում է 3-ի: Եվ հակառակը, եթե ab-1 թիվը բաժանվում է 3-ի, ապա a և b թվերը չեն բաժանվում 3-ի, և 3-ի բաժանելիս տալիս են նույն մնացորդը:

Ապացույց: Ենթադրենք a և b թվերը չեն բաժանվում 3-ի, բայց 3-ի բաժանելիս տալիս են նույն մնացորդը, ապացուցենք որ ab-1 թիվը բաժանվում է 3-ի:

Դիտարկենք դեպքեր՝

ա/ a, bթվերը երեքի բաժանելիս տալիս են մեկ մնացորդ

a=1(mod3), b=1(mod3)

ab=1(mod3)

1=1(mod3)

ab-1=0(mod3)

բ/ a, b թվերը երեքի բաժանելիս տալիս են երկու մնացորդ

a=2(mod3), b=2(mod3)

ab=4(mod3)=1(mod3)

1=1(mod3)

ab-1=0(mod3), ապացուցված է:

Ապացույց: Հակառակ պնդումը: Եթե ab-1 թիվը բաժանվում է 3-ի, ապա a և b թվերը չեն բաժանվում 3-ի, և 3-ի բաժանելիս տալիս են նույն մնացորդը:

Ապացույց: Եթե ab-1 թիվը բաժանվում է 3-ի, ուրեմն կարող ենք գրել այսպես

ab-1=0(mod3)

1=1(mod3) ուրեմն՝ ab=1(mod3) հետևաբար՝ a=1(mod3), b=1(mod3)

այսինքն երեքի բաժանելիս a և b տալիս են նույն մնացորդը:

Ապացուցված է:

Ապացուցեք, եթե a և b թվերը 3-ի չեն բաժանվում, և 3-ի բաժանելիս տալիս են տարբեր մնացորդներ, ապա ab+1 թիվը բաժանվում է 3-ի: Եվ հակառակը, եթե ab+1 թիվը բաժանվում է 3-ի, ապա a և b թվերը չեն բաժանվում 3-ի և նրանք 3-ի բաժանելիս տալիս են տարբեր մնացորդներ:

Ապացույց: Ենթադրենք a և b թվերը 3-ի չեն բաժանվում, և 3-ի բաժանելիս տալիս են տարբեր մնացորդներ, ապա ab+1 թիվը բաժանվում է 3-ի:

Եթե a, b թվերը երեքի բաժանելիս տալիս են տարբեր մնացորդներ, ուրեմն կարող ենք գրել՝

ա/ a=1(mod3), b=2(mod2)

ab=2(mod3)

1=1(mod3)

ab+1=3(mod3)=0(mod3), հետևաբար՝ ab+1 թիվը բաժանվում է 3-ի:

բ/ a=2(mod3), b=1(mod2)

ab=2(mod3)

1=1(mod3)

ab+1=3(mod3)=0(mod3), հետևաբար՝ ab+1 թիվը բաժանվում է 3-ի:

Ապացույց: Հակառակ պնդումը: եթե ab+1 թիվը բաժանվում է 3-ի, ապա a և b թվերը չեն բաժանվում 3-ի և նրանք 3-ի բաժանելիս տալիս են տարբեր մնացորդներ:

ab+1=0(mod3)

1=1(mod3)

ab=2(mod3) այսինքն՝

a=1(mod3), b=2(mod3) կամ a=2(mod3), b=1(mod3)

ստացանք, որ a և b թվերը չեն բաժանվում 3-ի և նրանք 3-ի բաժանելիս տալիս են տարբեր մնացորդներ: Ապացուցված է:

6.
Ապացուցեք, որ ինչպիսին էլ լինեն a և b ամբողջ թվերը ab(a²-b²) թիվը կբաժանվի 3-ի:

Ցանկացած aև b թիվ պատկանում է այս խմբերից մեկին՝

a=3k, a=3k+1, a=3k+2

b=3k, b=3k+1, b=3k+2,

a=0(mod3), a=1(mod3), a=2(mod3)

b=0(mod3), b=1(mod3), b=2(mod3)

դիտարկենք դեպքեր՝

ա/ a=0(mod3), b=0(mod3)

ab=0(mod3)

a^2=0(mod3), b^2=0(mod3), a^2-b^2=0(mod3)