Սեպտեմբերյան ֆլեշմոբի խնդիրների լուծումը

Առաջին մակարդակ:

1.Նարեն  բարձրահասակ է Արմենից և ցածրահասակ` Կարենից: Արամը բարձրահասակ  է Գոռից  և ցածրահասակ` Նարեից: Ո՞վ է ամենաբարձրահասակը:

Լուծում:

Առաջին պայմանից` Նարեն բարձրահասակ է Արմենից և ցածրահասակ է Կարենից  երևում է, որ Կարենը Նարեից և Արմենից ավելի բարձրահասակ է:

Երկրորդ պայմանից` Արամը բարձրահասակ  է Գոռից  և ցածրահասակ Նարեից, երևում է, որ Նարեն բարձրահասակ է Արամից և Գոռից: Այսիքն` ամենաբարձրահասակը Կարենն է:

Պատասախան` Կարեն:

2.Գումարող մեքենայի մեջ տեղադրում են 2, 0, 1, 3 թվերը: Ի՞նչ թիվ կստանան հարցականի փոխարեն:

Լուծում`

Տես նկարը`

2+0=2

1+3=4

2+4=6

Պատասխան` 6:

3.Հյուրանոցում քանի՞ երկու տեղանոց սենյակ է հարկավոր ավելացնել  5 հատ երեք տեղանոց սենյակներին`  21 հյուր ընդունելու համար:

Լուծում:

1.5x3=15

2. 21-15=6

3. 6:2=3սենյակ

Պատասխան` 3 սենյակ:

4. Ի՞նչ թիվ է թաքնված հարցականի փոխարեն:

Լուծում:

10, 20, 40, 80, …

Թվային շարքում, յուրաքանչյուր թիվ երկրորդ անդամից սկսած,  նախորդ անդամի կրկնապատիկն  է`

20=10x2

40=20x2

80=40x2

160=80x2

Պատասխան` 160:

5.Անահիտն ուներ  27 տիկնիկ: Նրա ընկերուհի  Լուսինեն ասաց. «Եթե քո տիկնիկներից 10 -ը  տաս ինձ, մենք երկուսս էլ կունենանք նույն քանակով տիկնիկներ»: Քանի՞տիկնիկ ուներ Լուսինեն:

Լուծում:

Անահիտն ունի 27 տիկնիկ, 10-ը տվեց Լուսինեին, նշանակում է, Անահիտի  մոտ մնաց`

27-10=17տիկնիկ:

Լուսինեի և Անահիտի տիկնիկների քանակը հավասարվեց, այսինքն մինչ Անահիտի տիկնիկներ նվիրելը, Լուսինեի մոտ կար`

17-10=7տիկնիկ:

Պատասխան` 7 տիկնիկ:

6. Նարեն քանի՞ խորանարդ պետք է ավելացնի երկրորդ նկարին, որ հավասարվի  առաջին նկարի խորանարդների քանակին:

                                                                                                                                                                                                                                                                                          

Լուծում`

Առաջին նկարում կա` 3x3x3=27խորանարդ

Երկրորդ նկարում կա` 9+7+4=20խորանարդ

Այսինքն պետք է ավելացնել` 27-20=7 խորանարդ:

Պատասխան` 7 խորանարդ:

7. Տիգրանն ուզում է քառակուսու դատարկ վանդակներում 1-ից 9 թվանշաններից երկուսը գրել այնպես, որ բոլոր չորս թվերի գումարը հավասար լինի 20-ի (տե՛ս նկարը): Քանի՞ եղանակով նա կարող է գրել:

	3
9

Լուծում:

Նշված երկու թվերի գումարը կլինի` 9+3=12

Որպեսզի չորս վանդակներում թվերի գումարը լինի 20, պահանջվում է դատարկ երկու վանդակներում այնպիսի թվանշաններ  գրել, որ գումարը լինի` 20-12=8

Դիտարկենք բոլոր հնարավոր տարբերակները`

1, 7

2, 6

3, 5

4, 4

5, 3

6,2

7, 1

Յոթ դեպք:

Պաստասխան` 7:

8. Արմինեն մի քանի խնձոր բաժանեց իր և իր 5 ընկերների միջև: Յուրաքանչյուրը ստացավ կես խնձոր: Քանի՞ խնձոր բաժանեց Արմինեն:

Լուծում`

Արմինեն և իր 5ընկերներից յուրաքանչյուրը ստացան կես խնձոր, նշանակում է,  երկու մարդ միասին ստացավ 1 խնձոր, հետևաբար`

5+1=6մարդ

6:2=3խնձոր:

Պատասխան` 3խնձոր:

9. Սոնան ունի երկու  տարբեր գիրք   և երկու տարբեր  տետր: Սոնան քանի՞ տարբեր եղանակով կարող է դրանք դասավորել դարակում, եթե ուզում է, որ տետրերը լինեն իրար կողք:

Լուծում:

Հարմարության համար համարակալենք գրքերը` 1, 2, տետրերը` 3, 4 համարներով:Որպեսզի տետրերը միշտ իրար կողք լինեն, պետք է բոլոր հնարավոր տարբերակները այնպես կազմել, որ 3և  4 թվանշանները լինեն իրար կողք, տես `

1234    1243

1342    1432

2134    2143

2341    2431

3412  4312

3421  4321

Պատասխան` 12  տարբերակ:

10.Այսօր  սեպտեմբերի 28-ն է, օրը` չորեքշաբթի է:  Շաբաթվա ի՞նչ  օր կլինի   28  օր հետո:

Լուծում` այսօր սեպտեմբերի 28-ն է, օրը` չորեքշաբթի, 7 օր հետո    նորից չորեքշաբթի է: Քանի որ 28-ը յոթի  բազմապատիկ է,  հետևաբար 28օր հետո կլինի  չորեքշաբթի օր:

Պատասխան` չորեքշաբթի:

Երկրորդ մակարդակ

Երկրորդ մակարդակ

1.Ո՞ր թիվն է գրառված նկարում:

Լուծում`

Նկարում յուրաքանչյուր խորանարդ ընդունենք մեկ միավոր, կստանանք`

6x100+7x10+5=675

Պատասխան` 675:

2. Քանի՞ երկնիշ  թիվ կա, որ 7-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում  է  2:

Լուծում:

Գտնենք այն բոլոր երկնիշ թվերը, որոնք բաժանվում են 7-ի` 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98:

Եթե երկնիշ  թիվը 7-ի բաժանելիս ստացվում է երկու մնացորդ, կստանանք`

16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79, 86, 93:

Պատասխան` 12թիվ:

3.Գտիր բոլոր 9-անիշ թվերի քանակը, որոնցում բոլոր թվանշանները տարբեր են և դասավորված են նվազման կարգով:Օրինակ` 876543210:

Լուծում:

Նկատենք, որ նման թվերը ստացվում են 9876543210 թվից որևէ մեկ թվանշանը ջնջելով: Իսկ մեկ թվանշան հնարավոր է ջնջել 10 եղանակով: Հետևաբար նման թվերի քանակը 10հատ է:

Պատասխան` 10:

4.

Արամը լուցկու փայտիկներով կառուցեց   2 կողմով շեղանկյուն/այսինքն` յուրաքանչյուր կողմը կազմված է երկու փայտիկից/:  Այնուհետև տրոհելով   1 կողմով եռանկյունների,  օգտագործեց  16հատիկ լուցկի:  Պարզիր,  քանի՞ հատ լուցկու հատիկ է պետք նույն ձևով  3 կողմով շեղանկյուն կառուցելու համար:

Լուծում:

Տես նկարը`

Պատասխան` 33:

5. Ֆուտբոլի թիմում պետք է ընտրել ավագ և նրա օգնական: Քանի՞ եղանակով է հնարավոր իրականացնել ընտրությունը:

Լուծում: Ֆուտբոլի թիմում կա 11 հոգի, այսինքն ավագ ընտրելու համար կա 11 եղանակ: Երբ ավագն արդեն ընտրված է, օգնականի թեկնածուները մնացած 10-ն են: Այսինքն, ամեն ավագի համար, օգնականին կարելի է ընտրել 10 եղանակով: Ստացվեց ավագ և օգնական ընտրելու 

11⋅10=110եղանակ:

Պատասխան` 110:

6. Ճնճղուկը որոշեց գնալ իր ընկեր խլուրդի տուն հյուր։ Ճանապարհն անցնում է թունելներով, ինչպես ցույց է տրված նկարում։ Թունելներում կա ընդամենը 16 հատ  դդմի սերմ։ Առավելագույնը քանի՞ սերմ կարող է հավաքել ճնճղուկը ճանապարհին, եթե չի թույլատրվում երկու անգամ անցնել նույն ճանապարհով կամ հանգույցով։

Տես նկարը`

Պատասխան` 13սերմ:

7. Իմ թվային ժամացույցը հիմա ցույց է տալիս 20:11, որը կազմված է 2, 0, 1, 1, թվանշաններից։ Քանի՞ րոպե անց ժամացույցի ցույց տված ժամանակը կազմված կլինի նույն  0, 1, 1, 2 թվանշաններից, բայց   այլ դասավորությամբ:

20:11 ժամից հետո  ամենամոտ ժամը 0, 1, 1, 2 թվանշաններից կազմված կլինի` 21:01ր, այսինքն ` 50րոպե անց:

Պատասխան`50 ր:

8.Քանի՞ երկնիշ  թիվ կա, որի միավորը  1-ով մեծ է տասնյակի թվից:

Լուծում:

12, 23, 34, 45, 56,67, 78, 89: Կա ութ երկնիշ թիվ:

Պատասխան` 8:

9.  Նարեն արտահայտության  արժեքը հաշվելիս  3  հատ թվանշան    ջնջվեց: Գտիր  ջնջված թվանշանների արտադրյալը:

2666 + ∗∗31 = 709∗ 

Լուծում:

    2666 

+

    ∗∗31 

       =

    709∗

Գումարը սյունաձև հաշվելիս, աստղանիշները կլինեն`

7, 4, 4, իսկ նրանց արտադրյալը` 7x4x4=112:

Պատասխան` 112:

10. Գևորգն ուզում է ներկել 3 × 3 քառակուսու վանդակներն այնպես, որ յուրաքանչյուր տողի, սյունակի և անկյունագծերի երեք վանդակները ներկված լինեն երեք տարբեր գույներով:

Նվազագույնը քանի՞ գույն կարող է Գևորգն օգտագործել քառակուսին ներկելու համար:

Լուծում:

Հարմարության համար, գույները փոխարինենք 1, 2, 3, 4, 5, թվանշաններով, տես նկարը`

1	3	2
2	4	5
5	1	3

Պատասխան` 5 գույն:

Երրորդ մակարդակ

1.       Արթուրը 2,3,4,9,8,27,16,30թվերի շարքից հեռացրեց մեկ թիվ այնպես,

 որ մնացած թվերի միջև ստեղծվեց օրինաչափություն: 

Գտնել ստացված նոր հաջորդականության 8-րդ անդամը:

Լուծում

Օրինաչափությունըհետևյալն է՝ զույգհամարներովանդամները 2-ի աստիճաններեն,կենտհամարովները 3-ի աստիճաններ,ուստի 30-ի փոխարենպետք է լինի 81:

2.       Աստղիկըորոշեցհանձնարարվածգիրքըընթերցել 20 օրում` ամենօրընթերցելովհավասարքանակությամբէջեր: Սակայն 11-րդօրվանիցսկսածնաամենօրկարդումէր 20 էջովավելի, քաննախապեսորոշելէր:Քանի՞էջուներգիրքը, եթեԱստղիկըայնավարտեց 15-րդ օրը:

Լուծում

x-ովնշանակենք 1-օրում կարդացածէջերիքանակը:Ըստխնդրիպահանջներիկստանանք 11x+4(20+x)=20x,որը լուծելովկստանանքx=16:

Աստղիկըգիրքըկարդում է 20 օրում՝յուրաքանչյուրօր 16էջ,այսինքն  գիրքըունի

20*16=320էջ է:

3.       Հայտնի է, որտրվածթվիքառակուսինկազմված է 2,6,5 թվերից: Գտնելայդթիվը:

Լուծում

Տրվածթիվը 25-ն է,քանիոր =625

4.       Քանիքառանիշթիվկա, որըավարտվում է 19-ով և բաժանվում է 19-ի:

Լուծում

Կա 5 այդպիսիթիվ:Դրանքեն. 1919,3819,5719,7619,7619,9519թվերը:

5.       Վարպետը և աշակերտըմիասինաշխատելովդետալըպատրաստումեն 2 ժամում, իսկառանձինաշխատելովպատրաստումենտարբեր, բայցամբողջժամանակում: Քանի՞ժամումենպատրաստումդետալըվարպետըևաշակերտը :

Լուծում

Քանիորնրանցաշխատածժամանակներըամբողջ(թվեր)ենհետևաբարիրարհավասարեն և հավասար 1-ի:

6.       Առնվազն քանի՞1մշառավղովշրջան է հարկավոր 2մկողմովքառակուսովսահմանափակվածտիրույթըծածկելուհամար:

Լուծում

Առնվազն 4 շրջանագիծ:Որպեսշրջանագծերիկենտրոններվերցնումենքքառակուսուկողմերիմիջնակետերը: Պատ.՝ 4

7.       Աշխատողըգործատուիհետկնքեցպայմանագիրհետևյալպայմաններով: Յուրաքանչյուրօրվաաշխատանքիդիմացվարձատրվումէ 4000 դրամով, սակայնայդօրըաշխատանքիչներկայանալուդեպքումտուգանվումէ 1000 դրամով:30 օրանցպարզվեց, որաշխատողը ոչինչչիվաստակել: Իրականումքանի՞օրէրնաաշխատել:

Լուծում

X-ովնշանակենքաշխատողիաշխատածօրերիքանակը

y-ովնշանակենքաշխատողիչաշխատածօրերիքանակը

Ըստխնդրիպահանջիկստանանքհետևյալհամակարգը.

,որըլուծելովկստանանքx=6:

Պատ.՝ 6օր

8.       3 ընկերներարեցինմեկականհայտարարություն x թվիվերաբերյալ: Արամնասաց. «xթիվըմեծէ 4-ից, փոքրէ 8-ից», Վահագնասաց. «xթիվըմեծէ 6-ից, փոքրէ 9-ից», իսկԼևոննասաց. . «x թիվըմեծէ 5-ից, փոքրէ 8-ից»: Գտնել x թիվը, եթեհայտնի է, որընկերներից 2-ը ասելենճշմարտությունը, իսկմյուսըստել է:

Լուծում

Արմանը և Վահագնմիարժամանակճիշտչենկարողասել ,քանիորհակառակդեպքումկստացվերստել է Լևոնն,որըհնարաորչէ (ուղակիայդպիսիxթիվգոյությունչերունենա):Արմանննույնպեսչիստելհենցնույնպատճառով:Ստացվում է ստել է Վահագնը:Համադրելովայսփաստերըստանումենք 5<x<6:

Պատ.՝5<x<6

9.       7 ճագարըև 3 հավըկշռումեն 29կգ 500գ,իսկ  7հավըև  3 ճագարըկշռումեն  15կգ 500գ:Քանի° կիլոգրամէկշռում 1 ճագարը,եթե 1 հավը 500գէ:

Լուծում

Հաշվենքորքան է կշռում 10 ճագարը և10 հավը՝ 7 ճագարև 3 հավ+7հավև  3ճագար=10 ճագար և10 հավ=29կգ 500գ +15կգ 500գ=45կգ:

1 հավը 500գէ,10հավըկլինի 5կգ:Ուստի 10 ճագարըկլինի 45կգ-5կգ=40կգ,իսկ 1ճագարը կլինի 4կգ:                                Պատ.՝ 4կգ

10.   ԿարեննուՆարեկըխաղումենհետևյալխաղը: Տուփիցհանելով 7×4 չափանիշոկոլադեսալիկը, հերթովայնբաժանումենմասերի, ընդորումսալիկիհատիկներըպետքէմնանամբողջական: Պարզել, թեճիշտխաղիդեպքումո՞վկհաղթի, կիսելըսկսողԿարենը, թե՞երկրորդըքայլըկատարողՆարեկը:

Լուծում 
  Դիտարկում 1: Քանիդեռկամեկսալիկիցավելկտորպարունակողուղղանկյուն, ապախաղըշարունակվումէ: Հետևաբարխաղըկավարտվիայնժամանակ, երբստացվի 4×7=28հատառանձնացվածսալիկ: 
  Դիտարկում 2: Յուրաքանչյուրքայլիկտորներիքանակըավելանումէմեկով:

Համախմբելովայսերկուդիտարկումներըկարողենքլուծելխնդիրը: Սկզբումկարմիկտոր, իսկվերջումլինելուէ 28 կտոր: Քանիորյուրաքանչյուրքայլիկտորներիքանակըշատանումէմեկով, ուրեմնկատարվելուէ 27 քայլ: Քանիոր 27 կենտթիվէ, ապա 27-րդքայլըկկատարիառաջինխաղացողը, այսինքնԿարենը: ԱյսպիսովանկախխաղալումարտավարությունիցԿարենըհաղթումէ:

 Չորրորդ տարբերակ

1. Հայտնի է, որ 1993-ը պարզ թիվ է: Կա՞ն այնպիսի x և y բնական թվեր, որ ։

Լուծում։ Վերլուծենք արտադրիչների։ Ստացվում է : Կամ  =1993, իսկ =1  կամ էլ  , իսկ : Ակնհայտ է, որ լուծում չկա։

2․ Գտնել այն երկնիշ թիվը, որի թվանշանների տեղերը փոխելիս մեծանում է 20%-ով:

Լուծում։                                                 =1.2⋅ ,

10b+a=12a+1.2b,

8.8b=11a,

4b=5a:

Քանի որ a և b միանիշ են, ուրեմն միակ հնարավոր արժեքներն են a=4, b=5: Այսինքն՝ 45։

3․ Դիցուք −1<x<0 : Ո՞ր տարբերակում են թվերը դասավորված աճման կարգով:

1) x ,x² ,x³ ,x⁴      2) x, x³, x², x⁴      3) x, x³, x⁴, x²        4) x⁴, x³, x², x

Լուծում։ Նկատենք, որ x² և x⁴ թվերը դրական են, իսկ x և x³ բացասական, ընդ որում x<x³ և x⁴<x²։ Այս ամենը հաշվի առնելով կարող ենք ստանալ աճման դասավորվածությունը ՝ x, x³, x⁴, x²։

4․ 40 և 80 կողմերով ուղղանկյան ներսում գտնվող երկու կիսաշրջանագծերի շառավիղներն իրար հավասար են և իրար շոշափում են (տես նկարը): Գտնել շրջանագծի շառավիղը:

Լուծում։ Կիսաշրջանագծերից մեկի կենտրոնը նշանակենք A-ով, իսկ մյուսինը B-ով: Դիտարկենք AB անկյունագծով և ուղղանկյան կողմերին զուգահեռ կողմերով ուղղանկյուն եռանկյունը:  AB=2R, իսկ մյուս էջերը հավասար են 40 և 80−2R: Համաձայն Պյութագորասի թեորեմի ստանում ենք, որ                                                    4R²=(80−2R)²+40²

R=25։

5․1234512345123451234512345 թվից ջնջել 10 թվանշան այնպես, որ ստացվածը լինի հնարավորինս մեծ:

Լուծում: Ունենք, որ մեր թիվը 25-անիշ է, այսինքն՝ ինչպես էլ ջնջենք 10 թվանշան կստանանք 15-անիշ թիվ, որի թվանշանները 1-ից 5 թվանշաններն են: Ստացված թիվը կլինի մեծագույնը, եթե առաջինը լինի 5 և երկրորդը նույնպես լինի 5: Այսպիսով պետք է ջնջել սկզբի 1234-ը, և հաջորդ 1234-ը: Կմնա 55123451234512345 և պետք է ջնջել ևս երկու թվանշանը: Այժմ երրորդ կարգում ամենամեծը թվանշանը որ կարելի է ստանալ 3-ն է։ Այսինքն կջնջենք սկզբի 12-ի և կստանանք 553451234512345:

6․ Գտնել բոլոր այն բնական եռանիշ թվերի գումարը, որոնք 5-ի բաժանելիս ստացվում է 1 մնացորդ:

Լուծում: Առաջին այդպիսի թիվը 101, վերջինը՝ 996: Կիրառենք պրոգրեսիա: , , d=5,

996=101+5*(n-1), n=180: :

7. Գտնել 8! թվի բաժանարարների քանակը (8!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8):

Լուծում։ 8!=2⁷⋅3²⋅5¹⋅7¹:Այդ թվի ցանկացած բաժանարար ունի 2^a⋅3^b⋅5^c⋅7^d տեսքը, որտեղ 0≤a≤7,  0≤b≤2,  0≤ c,d ≤1: Տարբերակների քանակը կլինի 8⋅3⋅2⋅2=96։

8․ Պարզել, թե շաբաթվա ի՞նչ օր կլինի երեքշաբթի օրվանից 125 օր անց:

Լուծում։ Շաբաթվա օրերը կրկնվում է 7 օրը մեկ, իսկ 125-ը 7-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 6, հետևաբար այդ օրը կհամընկնի երեքշաբթի օրվանից 6 օր անց օրվա հետ, այսինքն կլինի երկուշաբթի:

9․ ABC եռանկյան A գագաթից տարված բարձրության երկարությունը երկու անգամ փոքր է BC կողմից։ Հայտնի է, որ ∠ABC=75^O: Գտնել ∠BAC-ն:

Լուծում։

Կառուցենք BA հիմքով BAK հավաարասրուն

եռանկյունը, որի K գագաթը կգտնվի BC ճառագայթի վրա: Այդ դեպքում AK=BK և ∠AKB=180^O−2⋅75^O=30^O: AHK ուղղանկյուն եռանկյան անկյուններից մեկը 30^O է, ուստի AK=2AH: Քանի որ BAK եռանկյունը հավասարասրուն է, ուստի BK=AK=2AH և

ըստ խնդրի պայմանի BK=2AH=BC: Փաստորեն K և C կետերը համընկնում են: Ուստրի ∠BAC=∠BAK=75^O:

10․ Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30^o է, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունները հավասար են 2սմ և 3սմ: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:

Լուծում։ Ուղղանկյուն եռանկյունի BFC-ից BC=6: AD=BC: Ուղղանկյան մակերեսը կլինի՝ ։